Topologie faible
Soit $X$ un espace de Banach et notons $X'$ le dual topologique de $X$ (c'est-à-dire l'ensemble des formes linéaires continues sur $X$). La topologie faible sur $X$ est la topologie la moins fine (celle avec le moins d'ouverts) rendant continus tous les éléments de $X'$. Autrement dit, la topologie faible sur $X$ est la topologie la moins fine telle que toute forme linéaire continue (au sens de la norme) reste continue.
La topologie faible possède les propriétés suivantes :
- Une base de voisinages d'un point $a$ de $X$ est donnée par les ensembles suivants : $$\{x\in X:\ \forall i\in I,\ |f_i(x-x_0)|<\veps\}$$ où $I$ est fini, $f_i$, $i\in I$, est élément de $X'$ et $\veps$ est strictement positif.
- La topologie faible et la topologie de la norme coïncident si et seulement si $X$ est de dimension finie.
- Si $X$ est de dimension infinie, la topologie faible n'est pas métrisable.
- Si une suite $(x_n)$ converge vers $x$ pour la topologie faible, alors la suite des normes $(\|x_n\|)$ est bornée et on a $$\|x\|\leq \liminf_n \|x_n\|.$$
- Un ensemble convexe est fermé pour la topologie faible si et seulement s'il est fermé pour la topologie de la norme.
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