Fonction test

Soit $U$ un ouvert de $\mathbb R^n.$ On appelle fonction test de $U$ toute fonction indéfiniment dérivable définie sur $U$, à valeurs dans $\mathbb C,$ et à support compact dans $U.$ Lorsque $U=\mathbb R^n,$ on démontre que l'espace des fonctions tests est dense dans $\mathcal C_0^0(\mathbb R^n),$ l'espace vectoriel des fonctions continues tendant vers $0$ à l'infini, lorsque celui-ci est muni de $\|\cdot\|_\infty.$ Il est aussi dense dans $L^p(\mathbb R^n)$, muni de $\|\cdot\|_p,$ pour $p\in[1,+\infty[$ (mais pas pour $p=+\infty$ !).

Les fonctions tests sont utiles dans la théorie des distributions, ou lorsqu'on cherche des solutions faibles d'équations aux dérivées partielles.