Temps d'arrêt
La notion de temps introduite pour la modélisation d'un processus aléatoire est en fait relative
à l'horloge de l'observateur, et le phénomène aléatoire étudié n'a aucune raison a priori d'évoluer simplement suivant cette horloge.
On est donc amené à introduire des temps aléatoires, appelés temps d'arrêt, qui tiennent compte
de l'horloge interne du processus.
Définition :
Soit $(\Omega,\mathcal A,\mathbb P)$ un espace probabilisé muni d'une filtration $(\mathcal F_n)$. Une variable aléatoire
$T:\Omega\to\mathbb N\cup\{+\infty\}$ est appelée un temps d'arrêt si, pour tout entier naturel $n$,
$$\{T\leq n\}\in\mathcal F_n.$$
Exemple :
Soit $(X_n,\mathcal F_n)$ un processus adapté. Soit $A$ un borélien et $T_A$ le temps d'entrée dans $A$, c'est-à-dire que
$T_A=\inf\{n\in\mathbb N;\ X_n\in A\}$. Alors $T_A$ est un temps d'arrêt. En effet,
$$(T_A=n)=\left(\bigcap_{k=0}^{n-1}(X_k\notin A)\right)\cap (X_n\in A)\in\mathcal F_n.$$
Définition : Soit $(\Omega,\mathcal A,\mathbb P)$ un espace probabilisé muni d'une filtration $(\mathcal F_n)$.
Soit $T$ un temps d'arrêt adapté à la filtration. On appelle tribu des événements antérieurs à $T$
la tribu $\mathcal A_T=\{A\in\mathcal A;\ A\cap(T\leq n)\in \mathcal F_n,\ \forall n\in\mathbb N\}.$
La tribu des événements antérieurs contient toute l'information qui est disponible avant l'arrêt du processus.
C'est une sous-tribu de $\mathcal A.$
Théorème d'arrêt de Doob : Soit $(\Omega,\mathcal A,\mathbb P)$ un espace probabilisé muni d'une filtration $(\mathcal F_n)$.
Soit $(X_n)$ une martingale adaptée à la filtration et soient $S\leq T$ deux temps d'arrêt bornés adaptés à $(\mathcal F_n).$
On note $X_S(\omega)=X_{S(\omega)}(\omega)$ et $X_T(\omega)=X_{T(\omega)}(\omega)$. Alors
$$E(X_T|\mathcal A_S)=X_S.$$
En particulier, $E(X_T)=E(X_S).$
Ce théorème exprime qu'un jeu équitable le reste à n'importe quel temps d'arrêt aléatoire.
Consulter aussi
Recherche alphabétique
Recherche thématique
