Polynômes de Tchebychev
Les polynômes de Tchebychev sont des familles de polynômes orthogonaux pour un produit scalaire sur $]-1,1[$. Ils interviennent également dans des problèmes d'interpolation polynomiale.
Les polynômes de Tchebychev de première espèce sont les uniques polynômes $(T_n)_{n\geq 0}$ définis sur $[-1,1]$ par $$T_{n}(x)=\cos(n\arccos x)\textrm{ ou encore } T_n(\cos\theta)=\cos(n\theta).$$ Autrement dit, $T_n$ est le polynôme en $\cos\theta$ qui apparait lorsqu'on développe $\cos(n\theta)$ en somme de puissances de $\cos\theta$.
Il n'est pas tout à fait clair que ces formules définissent bien une suite de polynômes. Grâce aux formules de trigonométrie, on peut néanmoins démontrer que $(T_n)$ vérifie la relation de récurrence suivante, $$T_{n+2}(X)=2XT_{n+1}(X)-T_n(X),$$ avec les conditions initiales $T_0(X)=1$ et $T_1(X)=X$. Les premiers polynômes de la suite $(T_n)$ sont alors : $$\begin{array}{rcl} T_0(x)&=&1\\ T_1(x)&=&x\\ T_2(x)&=&2x^2-1\\ T_3(x)&=&4x^3-3x\\ T_4(x)&=&8x^4-8x^2+1. \end{array} $$ Plus généralement, $$T_n(x)=\frac n2\sum_{k=0}^{\lfloor \frac n2\rfloor}(-1)^k\frac{(n-k-1)!}{k!(n-2k)!}(2x)^{n-2k}.$$
Les polynômes de Tchebychev forment une famille orthogonale pour le produit scalaire $$\langle f,g\rangle=\int_{-1}^{1}f(t)g(t)\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}dt.$$ Plus précisément, on a $$\int_{-1}^1 T_n(x)T_m(x)\frac 1{\sqrt{1-x^2}}dx= \left\{ \begin{array}{ll} 0&\textrm{ si }n\neq m\\ \pi&\textrm{ si }n=m=0\\ \frac{\pi}2&\textrm{ si }n=m\neq 0. \end{array} \right. $$
Voici quelques autres propriétés des polynômes de Tchebychev :
- Le degré de $T_n$ est égal à $n$, et son coefficient dominant est $2^{n-1}$.
- $T_n$ est pair si $n$ est pair, impair si $n$ est impair.
- Pour tous les entiers $n,m$, on a $T_n(T_m(x))=T_{nm}(x).$
- $T_n$ est solution de l'équation différentielle $$(1-x^2)T_n''(x)-xT_n'(x)+n^2T_n(x)=0.$$
- $T_n$ admet $n$ racines simples qui sont $$a_{k,n}=\cos\left(\frac{(2k-1)\pi}{2n}\right),\ k=1,\dots,n.$$
- Sur $[-1,1]$, $T_n$ admet $n+1$ extrema, en les points $$b_{k,n}=\cos\left(\frac{k\pi}n\right),\ k=0,\dots,n.$$ En particulier, pour tout $x\in [-1,1]$, $$|T_n(x)|\leq 1$$ et en $b_{k,n}$, on a $|T_n(b_{k,n})|=1$.
Les polynômes de Tchebychev de seconde espèce sont les uniques polynômes $(U_n)_{n\geq 0}$ définis sur $]-1,1[$ par $$U_n(\cos\theta)=\frac{\sin((n+1)\theta)}{\sin \theta}.$$
Comme pour les polynômes de première espèce, l'existence de ces polynômes n'est pas évidente et découle des formules usuelles de trigonométrie. En particulier, on peut démontrer que la suite $(U_n)$ vérifie la même relation de récurrence $$U_{n+2}(X)=2XU_{n+1}(X)-U_n(X),$$ avec cette fois $U_0(X)=1$ et $U_1(X)=2X$. On montre aussi qu'on a la relation suivante qui relie $U_n$ à $T_n$ : $$\forall n\geq 0, U_n=\frac{1}{n+1}T_{n+1}'.$$ Les premiers polynômes de la suite $(U_n)$ sont alors : $$\begin{array}{rcl} U_0(x)&=&1\\ U_1(x)&=&2x\\ U_2(x)&=&4x^2-1\\ U_3(x)&=&8x^3-4x\\ U_4(x)&=&16x^4-12x^2+1. \end{array} $$ Plus généralement, $$U_n(x)=\sum_{k=0}^{\lfloor \frac n2\rfloor}(-1)^k\binom{n-k}{k}(2x)^{n-2k}.$$
Les polynômes de Tchebychev de seconde espèce forment une famille orthogonale pour le produit scalaire $$\langle f,g\rangle=\int_{-1}^{1}f(t)g(t)\sqrt{1-t^2}dt.$$ Plus précisément, on a $$\int_{-1}^1 U_n(x)U_m(x){\sqrt{1-x^2}}dx= \left\{ \begin{array}{ll} 0&\textrm{ si }n\neq m\\ \frac{\pi}2&\textrm{ si }n=m. \end{array} \right. $$
Voici quelques autres propriétés des polynômes de Tchebychev :
- Le degré de $U_n$ est égal à $n$, et son coefficient dominant est $2^{n}$.
- $U_n$ est pair si $n$ est pair, impair si $n$ est impaire
- $U_n$ est solution de l'équation différentielle $$(1-x^2)U_n''(x)-3xU_n'(x)+n(n+2)U_n(x)=0.$$
- $U_n$ admet $n$ racines simples qui sont $$a'_{k,n}=\cos\left(\frac{k\pi}n\right),\ k=1,\dots,n.$$