Inégalité de Bienaymé-Tchebychev, Inégalité de Markov

Soit $r> 0$, et $X$ une variable aléatoire réelle définie sur un espace probabilisé $(\Omega,\mathcal A,P).$ On suppose que $X$ est $r$-intégrale (ce qui signifie que $E(|X|^r)$ est fini). Alors pour tout $t>0$, $$P(|X|\geq t)\leq \frac{E(|X|^r)}{t^r}.$$

Pour $r=1$, on obtient l'inégalité de Markov. Pour $r=2$, avec la variable aléatoire $X-E(X)$, celle de Bienaymé-Tchebychev.

L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev est démontrée par Jules Bienaymé en 1853. Elle est redécouverte par Tchebychev en 1867, qui la popularisa notamment en en faisant grand usage pour démontrer une loi faible des grands nombres.