Loi d'inertie de Sylvester
La loi d'inertie de Sylvester est un résultat de classification des formes quadratiques réelles.
Théorème :
Soit $Q$ une forme quadratique sur $E$, espace vectoriel réel de dimension finie $n.$ Alors, il existe $(e_1,\dots,e_n)$
une base de $E$, et des entiers naturels $p$ et $q$ tels que, pour tout vecteur $x=x_1e_1+\cdots+x_n e_n$ de $E$, on ait
$$Q(x)=x_1^2+\cdots+x_p^2-x_{p+1}^2-\cdots-x_{p+q}^2.$$
En outre, si dans une autre base $(f_1,\dots,f_n)$ de $E$, on a une décomposition du même type,
c'est-à-dire qu'il existe $r$ et $s$ des entiers naturels
tels que, pour tout $y=y_1 f_1+\cdots+y_nf_n$ de $E$, on ait
$$Q(y)=y_1^2+\cdots+y_r^2-y_{r+1}^2-\cdots-y_{r+s}^2,$$
alors on a nécessairement $r=p$ et $s=q$. Le couple $(p,q)$ s'appelle signature de $Q.$
On peut aussi définir le couple $(p,q)$ de la signature de façon plus intrinsèque : $p$ est la plus grande des dimensions d'un sous-espace de $E$ où $Q$ est définie positive, et $q$ est la plus grande des dimensions d'un sous-espace de $E$ où $Q$ est définie négative.
Cette classification des formes quadratiques a été obtenue au XIXè siècle
par James Sylvester, alors qu'il s'intéressait à l'intersection de deux quadriques.Consulter aussi...
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