Sommes de Gauss

Pour $n\in\mathbb N^*,$ la $n$-ième somme de Gauss est définie par $$S_n=\sum_{k=0}^{n-1}\exp\left(\frac{2\pi i k^2}{n}\right).$$ Gauss a introduit ces sommes à l'occasion de l'une des preuves qu'il a donnée de la loi de réciprocité quadratique. On peut prouver que $$S_n=\left\{ \begin{array}{ll} (1+i)\sqrt n&\textrm{ si }n\equiv 0\ [4]\\ \sqrt n&\textrm{ si }n\equiv 1\ [4]\\ 0&\textrm{ si }n\equiv 2\ [4]\\ i\sqrt n&\textrm{ si }n\equiv 3\ [4]. \end{array}\right. $$