$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Sinus

Dans le triangle rectangle

Soit $ABC$ un triangle rectangle en $B$. On appelle sinus de l'angle $\widehat{BAC}$ la quantité :

D'un nombre réel

La définition précédente ne permet que de définir le sinus d'un angle aigu. On peut définir en fait le sinus d'un nombre réel en utilisant le cercle trigonométrique.

Soit $x$ un réel. On note $M$ le point du cercle trigonométrique telle que la mesure de $(\vec \imath,\overrightarrow{OM})$ soit égale à $x$ radians. Le sinus de $x$ est l'ordonnée du point $M$.

Grâce à l'animation Geogebra suivante, vous pouvez faire varier l'angle $(\vec \imath,\overrightarrow{OM})$ et voir la courbe représentative de la fonction sinus se dessiner.

Quelques propriétés de la fonction sinus

La fonction sinus est

  • continue sur $\mathbb R$;
  • dérivable sur $\mathbb R$, et pour tout $x\in\mathbb R$, $(\sin )'(x)=\cos x$;
  • impaire : pour tout $x\in\mathbb R$, $\sin(-x)=-\sin(x)$;
  • développable en série entière : pour tout $x\in\mathbb R$, $$\sin x=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}.$$
  • l'unique solution de l'équation différentielle $y''+y=0$ vérifiant $y(0)=0$ et $y'(0)=1$.
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