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Procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt

Le procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt est un algorithme permettant de fabriquer une famille orthonormée à partir d'une famille libre dans un espace euclidien.

Théorème : Soit $E$ un espace vectoriel préhilbertien, $(e_1,\dots,e_n)$ une famille libre de $E$. Alors il existe une unique famille orthonormée $(u_1,\dots,u_n)$ de $E$ telle que :
  • pour tout $p$ de $\{1,...,n\}$, $\textrm{vect}(u_1,...,u_p)=\textrm{vect}(e_1,\dots,e_p)$.
  • pour tout $p$ de $\{1,...,n\}$, $(e_p,u_p)> 0$.

Géométriquement, si $(e_1,\dots,e_n)$ est une base de $E,$ la matrice de passage de $(e_1,\dots,e_n)$ à $(u_1,\dots,u_n)$ est triangulaire supérieure, et ses coefficients diagonaux sont strictement positifs.

Pour la preuve, on construit la famille $(u_1,\dots,u_n)$ étape par étape :

  • Pour $u_1$, il suffit de normer $e_1$ : $\displaystyle u_1=\frac{e_1}{\|e_1\|}.$
  • Pour $u_2$, on construit un vecteur intermédiaire $v_2=e_2+a_{1,2}u_1.$ Pour que $v_2$ soit orthogonal à $u_1$, il suffit de poser : $$a_{1,2}=-(u_1,e_2).$$ On normalise ensuite $v_2$ en posant $\displaystyle u_2=\frac{v_2}{\|v_2\|}.$
  • Les vecteurs $u_1,\dots,u_{k-1}$ étant construits, on cherche d'abord $v_k$ qui possède les mêmes propriétés que $u_k$, mais n'est pas nécessairement normé. On l'écrit sous la forme $$v_k=e_k+a_{1,k}u_1+\dots,a_{k-1,k}u_{k-1}.$$ Pour que $v_k$ soit orthogonal à $u_i$, pour $i$ compris entre $1$ et $k-1$, il suffit de poser $$a_{i,k}=-(u_i,e_k).$$ En prenant $\displaystyle u_k=\frac{v_k}{\|v_k\|}$ on a répondu aux conditions.

On utilise le procédé de Schmidt par exemple lorsqu'on souhaite calculer des projetés orthogonaux sur des sous-espaces. C'est aussi un outil commode dans la démonstration de la classique inégalité d'Hadamard.

Si ce procédé porte le nom du mathématicien danois Gram (qui le publie en 1883), et de Schmidt (qui cite Gram en 1907), il était en réalité déjà connu de Laplace en 1816 et de Cauchy en 1836.
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