Corps de rupture
Soit $P$ un polynôme non constant sur le corps $\mathbb K$. On appelle corps de rupture de $P$ sur $\mathbb K$ une extension $\mathbb L$ de $\mathbb K$ telle que :
- Dans $\mathbb L$, $P$ admet une racine $a$.
- $\mathbb L$ est engendré par $\mathbb K$ et $a$.
Théorème : Soit $P$ un polynôme sur le corps $\mathbb K$, irréductible sur $\mathbb K$. Alors $P$ admet un corps de rupture sur $\mathbb K,$
unique à $\mathbb K$-isomorphisme près.
Dans le théorème précédent, si $P$ n'est pas irréductible, il possède tout de même un corps de rupture, mais on perd l'unicité.
Exemple : Le corps $\mathbb C$ des nombres complexes est le corps de rupture du polynôme $X^2+1\in\mathbb R[X]$.
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