Théorème de Rouché-Fontené
On souhaite déterminer si un système linéaire de $n$ équations à $p$ inconnues admet des solutions :
$$\left\{ \begin{array}{ccl} a_{1,1}x_1+a_{1,2}x_2+\cdots+a_{1,p}x_p&=&b_1\\ a_{2,1}x_1+a_{2,2}x_2+\cdots+a_{2,p}x_p&=&b_2\\ \vdots&\vdots&\vdots\\ a_{n,1}x_1+a_{n,2}x_2+\cdots+a_{n,p}x_p&=&b_n\\ \end{array}\right. $$On note $r$ le rang de la matrice associée au système. C'est encore l'ordre maximum d'un déterminant non nul extrait de $A$. Quitte à changer l'ordre des équations et des inconnues, on peut supposer que le déterminant non nul est donné par les $r$ premières lignes et les $r$ premières colonnes de la matrice. On note $$D=\left| \begin{array}{cccc} a_{1,1}&a_{1,2}&\dots&a_{1,r}\\ a_{2,1}&\vdots&\vdots&\vdots\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ a_{r,1}&\dots&\dots&a_{r,r} \end{array}\right|$$
ce déterminant, appelé déterminant principal du système. Les inconnues $x_1,\dots,x_r$ sont dites principales, comme les $r$ premières équations, alors que les autres équations et inconnues sont dites auxiliaires. Les déterminants caractéristiques du système sont alors $$D_s=\left| \begin{array}{ccccc} a_{1,1}&a_{1,2}&\dots&a_{1,r}&b_1\\ a_{2,1}&\vdots&\vdots&\vdots&b_2\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ a_{r,1}&\dots&\dots&a_{r,r}&b_r\\ a_{s,1}&\dots&\dots&a_{s,r}&b_s\\ \end{array}\right|$$
où $s=r+1,\dots,n.$ Si un seul des déterminants caractéristiques est non nul, le système n'a pas de solution. Sinon, il y a une solution unique si $r=p$, ou des solutions paramétrées par $p-r$ variables sinon. Ceci donne le théorème suivant, appelé théorème de Rouché-Fontené :
- si $r=n,$ le système admet une solution et les solutions forment un sous-espace affine de dimension $p-r$ de $\mathbb R^p.$
- si $r<n$ et si l'un des $n-r$ déterminants caractéristiques est non nul, le système n'admet pas de solutions.
- si $r<n$ et si les $n-r$ déterminants caractéristiques sont nuls, alors le système admet une solution et les solutions forment un sous-espace affine de dimension $p-r$ de $\mathbb R^p.$
Ce théorème peut aussi s'énoncer à l'aide de la matrice augmentée du système, c'est-à-dire la matrice $(A|b)$ où $A$ est la matrice du système et $b$ est le vecteur du second membre.