$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Espace réflexif

Soit $X$ un espace vectoriel normé sur $\mathbb K=\mathbb R$ ou $\mathbb C$. Il s'injecte "canoniquement" dans son bidual topologique par l'application linéaire continue suivante : $$\begin{array}{rcl} J:X&\to&X''\\ x&\mapsto &\hat x:X'\to\mathbb K,\ f\mapsto f(x). \end{array}$$ Comme conséquence du théorème de Hahn-Banach, $J$ est une isométrie et est donc injective. On dit que $X$ est réflexif si $J$ est surjective, c'est-à-dire si toute forme linéaire continue sur $X'$ est de la forme $f\mapsto f(x)$ pour un $x$ de $X$. Ainsi, tout espace vectoriel normé réflexif est de Banach, puisqu'il est isomorphe à $X''$ qui est toujours un espace de Banach.

Exemples :

  • tout espace vectoriel normé de dimension finie, tout espace de Hilbert, tout espace $L^p$, $1<p<\infty,$ est réflexif;
  • les espaces de suite $\ell_1$, $c_0,$ $\ell_\infty$ ne sont pas réflexifs, comme $L^1([0,1])$ et $\mathcal C([0,1]).$

On peut caractériser les espaces réflexifs de la façon suivante :

Théorème : Soit $X$ un espace vectoriel normé. Les assertions suivantes sont équivalentes :
  • $X$ est réflexif.
  • la boule unité fermée de $X$ est compacte pour la topologie faible.
  • toute suite bornée de $X$ admet une sous-suite faiblement convergente.
  • $X$ est complet et son dual (topologique) est réflexif.
  • $X$ est complet et toute forme linéaire continue sur $X$ atteint sa norme en un point de la boule unité fermée de $X.$
  • $X$ est complet et tout convexe fermé non vide $C$ de $X$ est proximinal, c'est-à-dire que pour tout $x$ dans $X,$ il existe dans $C$ au moins un $c$ (non unique en général) tel que $\|x – c\|$ soit égal à la distance de $x$ à $C.$

Par ailleurs, les espaces réflexifs vérifient les propriétés suivantes :

  • si $Y$ est un sous-espace vectoriel fermé d'un espace réflexif $X$ alors $Y$ et $X/Y$ sont réflexifs.
  • un espace réflexif est séparable si et seulement si son dual topologique est séparable.
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