Espace réflexif
Soit $X$ un espace vectoriel normé sur $\mathbb K=\mathbb R$ ou $\mathbb C$. Il s'injecte "canoniquement" dans son bidual topologique par l'application linéaire continue suivante : $$\begin{array}{rcl} J:X&\to&X''\\ x&\mapsto &\hat x:X'\to\mathbb K,\ f\mapsto f(x). \end{array}$$ Comme conséquence du théorème de Hahn-Banach, $J$ est une isométrie et est donc injective. On dit que $X$ est réflexif si $J$ est surjective, c'est-à-dire si toute forme linéaire continue sur $X'$ est de la forme $f\mapsto f(x)$ pour un $x$ de $X$. Ainsi, tout espace vectoriel normé réflexif est de Banach, puisqu'il est isomorphe à $X''$ qui est toujours un espace de Banach.
Exemples :
- tout espace vectoriel normé de dimension finie, tout espace de Hilbert, tout espace $L^p$, $1<p<\infty,$ est réflexif;
- les espaces de suite $\ell_1$, $c_0,$ $\ell_\infty$ ne sont pas réflexifs, comme $L^1([0,1])$ et $\mathcal C([0,1]).$
On peut caractériser les espaces réflexifs de la façon suivante :
- $X$ est réflexif.
- la boule unité fermée de $X$ est compacte pour la topologie faible.
- toute suite bornée de $X$ admet une sous-suite faiblement convergente.
- $X$ est complet et son dual (topologique) est réflexif.
- $X$ est complet et toute forme linéaire continue sur $X$ atteint sa norme en un point de la boule unité fermée de $X.$
- $X$ est complet et tout convexe fermé non vide $C$ de $X$ est proximinal, c'est-à-dire que pour tout $x$ dans $X,$ il existe dans $C$ au moins un $c$ (non unique en général) tel que $\|x – c\|$ soit égal à la distance de $x$ à $C.$
Par ailleurs, les espaces réflexifs vérifient les propriétés suivantes :
- si $Y$ est un sous-espace vectoriel fermé d'un espace réflexif $X$ alors $Y$ et $X/Y$ sont réflexifs.
- un espace réflexif est séparable si et seulement si son dual topologique est séparable.