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Recouvrement

Soit $X$ un ensemble, $A$ une partie de $X$. Un recouvrement de $A$ est une famille de parties $X$ dont la réunion contient $A$.

Exemple : Si $X=]0,1]$, la famille des parties $[1/n,1+1/n]$, $n>0$, forme un recouvrement de $X$.

Si $X$ est un espace topologique, et si le recouvrement de $A$ est constitué d'ouverts de $X$, ce recouvrement est dit recouvrement ouvert. Ces recouvrements jouent un rôle tout à fait particulier pour les espaces compacts à travers la propriété de Borel-Lebesgue.

Voici quelques définitions complémentaires concernant les recouvrements. Un recouvrement $\mathcal R_1$ est dit plus fin qu'un recouvrement $\mathcal R_2$ si tout élément de $\mathcal R_1$ est élément de $\mathcal R_2$. Dans ce cas, on dit aussi que $\mathcal R_2$ est un sous-recouvrement de $\mathcal R_1$. Un recouvrement ouvert $\mathcal R$ de $A$ est dit localement fini si, pour chaque $x\in A$, il existe un voisinage $U$ de $x$ tel que $U$ ne recontre qu'un nombre fini d'ensembles de $\mathcal R_2$ .

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