Principe du prolongement analytique
Théorème : Soit $U$ un ouvert connexe de $\mathbb C$, $f$ et $g$ deux fonctions holomorphes sur $U$,
$A$ une partie de $U$ admettant un point d'accumulation qui appartient à $U.$ Alors
$$f=g\textrm{ sur }A\iff f=g\textrm{ sur }U.$$
En particulier, si $f=g$ dans un voisinage d'un point $a$ de $U$, alors $f=g$ sur $U$.
Ce théorème permet de démontrer de nombreux résultats d'unicité pour les fonctions holomorphes. Par exemple, la seule fonction holomorphe $f:\mathbb C\to\mathbb C$ qui vérifie $f(1/n)=1/n$ pour tout $n\geq 1$ est la fonction $f(z)=z$. On applique le théorème précédent à $A=\{1/n:\ n\geq 1\},$ $U=\mathbb C,$ en remarquant que $0\in\mathbb C$ est un point d'accumulation de $A.$
Recherche alphabétique
Recherche thématique