Projection
Projection
Définition : Soit $F$ et $G$ deux sous-espaces supplémentaires d'un espace vectoriel $E$.
Alors on appelle projection sur $F$ parallèlement
à $G$ l'application qui à tout $x$ de $E$ associe l'unique $y$ de $F$ tel que
$x=y+z$ avec $z$ élément de $G$.
Une telle application est aussi appelée projecteur.
Une telle application est aussi appelée projecteur.
Exemple : $E=\mathbb R^2$, $F$ et $G$ sont deux droites de $E$.
Il existe une autre façon de définir les projecteurs.
Théorème : Un élément $p$ de $\mathcal L(E)$ est un projecteur si et seulement si $p\circ p=p.$
Dans ce cas, $\textrm{Im}(p)$ et $\ker(p)$ sont supplémentaires, et $p$ est la projection sur $\textrm{Im}(p)$ parallèlement à $\ker(p).$
Système de projecteurs associé
Soit $(E_i)_{i\in I}$ des sous-espaces vectoriels de $E$ qui sont en somme directe et tels que $\bigoplus_{i\in I}E_i=E$. Fixons $i$ dans $I$ et posons $F_i=\bigoplus_{j\neq i}E_j$. Alors $E_i$ et $F_i$ sont supplémentaires. On peut donc définir $p_i$ la projection sur $E_i$ parallèlement à $F_i$. La famille $(p_i)_{i\in I}$ s'appelle sytème de projecteurs associé à la décomposition $\bigoplus_{i\in I}E_i=E$. Elle vérifie les propriétés suivantes :
- pour $i\neq j$, $p_i\circ p_j=p_j\circ p_i=0$.
- $\sum_{i\in I}p_i=\textrm{Id}_E$.
- si $x\in E$ s'écrit $x=\sum_{i\in I}x_i$ avec $x_i\in E_i$, alors $x_i=p_i(x).$
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