Progression arithmétique
On appelle progression arithmétique tout ensemble d'entiers de la forme $an+b$, où $a$ et $b$ sont deux autres entiers, et $n$ décrit l'ensemble des entiers naturels. Autrement dit, une progression arithmétique désigne l'ensemble des valeurs prises par une suite arithmétique.
Ce terme de progression arithmétique est souvent associé à un célèbre théorème de Dirichlet : si $a$ et $b$ sont premiers entre eux, il existe une infinité de nombres premiers dans la progression arithmétique $an+b,$ $n\in\mathbb N.$
Démontrons un cas (très) particulier de ce théorème, à savoir qu'il existe une infinité de nombres premiers de la forme $4k+3,$ $k\in\mathbb N.$ Supposons qu'il en existe seulement un nombre fini, et notons les $p_1,\dots,p_k.$ On considère alors $$n=p_1\times p_2\times\cdots\times p_k=3\times 7\times 11\times 19\times\cdots$$ le produit de ces nombres, et posons $m=4n-1$. Alors :
- aucun des $p_i$ ne divise $m$ : si $p_i$ divisait $m,$ comme il divise aussi $n$, alors il diviserait $-1,$ ce qui est impossible.
- $2$ ne divise pas $m,$ qui est impair.
Ainsi, tous les nombres premiers qui divisent $m$ sont congrus à $1$ modulo $4.$ Mais alors, en utilisant la décomposition en produits de facteurs premiers de $m,$ on obtient que $m$ est congru à $1$ modulo $4.$ Mais ce n'est pas le cas, puisque $m$ est congru à $3$ modulo $4.$ On a donc une contradiction avec l'hypothèse de départ, ce qui permet de conclure qu'il existe une infinité de nombres premiers de la forme $4k+3,$ $k\in\mathbb N.$