Produit tensoriel

Produit tensoriel de deux espaces vectoriels

Le produit tensoriel de deux espaces vectoriels est un moyen de transformer l'étude des applications bilinéaires sur ces deux espaces en l'étude des applications linéaires sur un espace plus compliqué.

Théorème et définition : Soit $E$ et $F$ deux espaces vectoriels sur le même corps $\mathbb K$. Il existe un espace vectoriel noté $E\otimes F$ et une application bilinéaire $\otimes:E\times F\to E\otimes F$, $(x,y)\mapsto x\otimes y$, ayant la propriété universelle suivante : pour tout espace vectoriel $G$ sur $K$, pour toute application bilinéaire $\phi:E\times F\to G$, il existe une unique application linéaire $f:E\otimes F\to G$ telle que, pour tout $x\in E$, tout $y\in F$, $\phi(x,y)=f(x\otimes y).$ De plus, le couple $(E\otimes F,\otimes)$ est unique à isomorphisme près. On l'appelle le produit tensoriel de $E$ et de $F$.

On prouve que si $(e_i)_{i\in I}$ et $(f_j)_{j\in J}$ sont des bases respectives de $E$ et $F$, alors $(e_i\otimes f_j)_{(i,j)\in I\times J}$ est une base de $E\otimes F$. En particulier, si $E$ et $F$ sont de dimension finie, $$\dim(E\otimes F)=\dim(E)\times \dim(F).$$

Produit tensoriel de deux applications linéaires

Si $E,F,E',F'$ sont des espaces vectoriels sur le même corps $\mathbb K,$ si $f\in\mathcal L(E,E')$ et $g\in\mathcal L(F,F'),$ alors on peut définir une application bilinéaire $$ \begin{eqnarray*} E\times F&\to & E' \otimes F'\\ (x,y)&\mapsto& f(x)\otimes g(y). \end{eqnarray*} $$ D'après la propriété universelle du produit tensoriel, il existe une unique application linéaire $f\otimes g$ de $E\otimes F$ dans $E'\otimes F'$ telle que, pour tout $(x,y)\in E\times F,$ $$(f\otimes g)(x\otimes y)=f(x)\otimes g(y).$$ L'application linéaire $f\otimes g$ s'appelle le produit tensoriel de $f$ et $g.$

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