Processus stochastique
Un processus stochastique est un modèle probabiliste permettant d'étudier un phénomène aléatoire au cours du temps. Formellement, un processus stochastique est la donnée :
- d'un espace probabilisé $(X,A,P)$;
- d'un espace mesurable $(E,B)$;
- d'une famille $(Y_t)_{t\in T}$ de variables aléatoires définies sur $(X,A,P)$ à valeurs dans $(E,B)$.
L'ensemble $E$ est l'espace des états du processus, l'ensemble $T$ l'espace des temps. Pour $x$ dans $X$, l'application qui à tout $t$ de $T$ associe $Y_t(x)$ est la trajectoire de $x$. Souvent, $T$ est l'ensemble des entiers $\mathbb N$, et alors on dit que le processus est à temps discret, ou bien $T=\mathbb R$, et on dit alors que le processus est à temps continu.
Exemples :
- On considère une suite de parties de piles ou faces indépendants, et on note $S_n$ le nombre de piles obtenus après la n-ième partie. La suite $(S_n)$ est un processus, appelé processus ou schéma de Bernoulli.
- On considère un appareil, et on note $N_t$ le nombre de pannes survenues entre l'instant 0 et l'instant $t$. $(N_t)_{t\in\mathbb R}$ est un processus à temps continu.
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