Procédé diagonal de Cantor

Le procédé diagonal est une technique qui permet de définir un objet à partir d'une infinité d'objets préalablement définis, en considérant une "diagonale" relative à ces objets. Il peut être utilisé à la fois pour démontrer des résultats négatifs, dans le cadre d'un raisonnement par l'absurde (comme par exemple, prouver que $[0,1[$ n'est pas dénombrable), ou prouver des résultats d'existence (par exemple, le produit d'un nombre dénombrable d'espaces métriques compacts est compact).

Expliquons le fonctionnement du procédé diagonal sur l'exemple suivant : $[0,1[$ n'est pas dénombrable. On procède par l'absurde et on suppose que $[0,1[$ est dénombrable. Il existe donc une suite $(x_n)$ d'éléments de $[0,1[$ telle que $[0,1[=\{x_n:\ n\geq 1\}.$ On écrit chaque $x_n$ en écriture décimale propre : $$x_n=0,\! a_{1}(n)a_2(n)\cdots a_k(n)\cdots.$$ Pour tout entier $n\geq 1$, on choisit un entier $a_n\in\{0,\dots,8\}$ tel que $a_n\neq a_{n}(n)$ (c'est-à-dire que $a_n$ est différent du $n$-ème chiffre après la virgule de $x_n$). On considère alors le réel $$x=a_1a_2\cdots a_n.$$ Alors $x$ est bien dans $[0,1[,$ et il est différent de tous les $x_n$ puisque son $n$-ème chiffre après la virgule est différent de $x_n$ : il y a une contradiction avec le fait que $[0,1[=\{x_n:\ n\geq 1\}$ et donc $[0,1[$ n'est pas dénombrable.

On parle ici de procédé diagonal car on a changé le $n$-ème chiffre du $n$-ème réel : $$\begin{array}{cccccccc} x_1=0,&\color{red}{a_1(1)}&a_2(1)&a_3(1)&a_4(1)&\dots\\ x_2=0,&a_1(2)&\color{red}{a_2(2)}&a_3(2)&a_4(2)&\dots\\ x_3=0,&a_1(3)&a_2(3)&\color{red}{a_3(3)}&a_4(3)&\dots\\ x_4=0,&a_1(4)&a_2(4)&a_3(4)&\color{red}{a_4(4)}&\dots\\ \dots&\dots&\dots&\dots&\dots&\color{red}{\ddots} \end{array} $$

Le procédé diagonal apparaît pour la première fois dans un article de Cantor de 1892 (il avait déjà démontré 18 ans auparavant que l'ensemble des nombres réels n'est pas dénombrable).