Introduction aux probabilités
On lance un dé, et on s'intéresse au nombre qui apparait sur la face supérieure du dé. Cette expérience est une expérience aléatoire : son résultat dépend du hasard. Les résultats possibles de cette expérience aléatoire s'appelle l'univers des possibles. Si le dé comporte 6 faces, l'univers des possibles est {1,2,3,4,5,6}.
Intéressons-nous à des événements de l'expérience aléatoire, c'est-à-dire à des faits qui peuvent se produire. Par exemple, on peut choisir les événements \begin{eqnarray*} A&=&\{\textrm{On obtient un }6\}\\ B&=&\{\textrm{On obtient un nombre pair}\}. \end{eqnarray*} On répète l'expérience plusieurs fois, et on étudie la fréquence de réalisation de l'événement $A,$ c'est-à-dire le nombre : $$f=\frac{\textrm{nombre de fois où on obtient }6}{\textrm{nombre de tirages}}.$$ Quand le nombre de tirages augmente, la fréquence de réalisation de $A$ tend à se stabiliser autour d'un nombre limite, compris entre 0 et 1. Ce nombre limite signifie intuitivement la chance qu'a l'événement $A$ de se produire lorsqu'on réalise une expérience : on l'appelle probabilité de $A,$ et on le note $P(A).$ Dans notre exemple, si le dé n'est pas truqué, on a bien sûr $P(A)=1/6$ et $P(B)=1/2$ si le dé n'est pas pipé.
La probabilité, dans le langage courant, apparaît donc comme une limite de fréquences, et est définie a posteriori. En modélisant l'expérience aléatoire, on va définir mathématiquement pour chaque événement une probabilité a priori.
On se place dans le cadre d'une épreuve aléatoire dont l'ensemble des événements possibles est fini (non vide). On note $\Omega=\{x_1,...,x_n\}$ l'ensemble des événements possibles.
Une distribution de probabilité sur $\Omega$ est la donnée d'une suite finie $(p_1,...,p_n)$ de nombres tels que :
- pour tout $k\in\{1,\dots,n\}$, $p_k\in[0,1];$
- $p_1+\cdots+p_n=1.$
On appelle probabilité sur $\Omega$ associée à la distribution $(p_1,...,p_n)$ l'application définie sur l'ensemble des parties de $\Omega$ par $$P(A)=\sum_{x_k\in A}p_k$$ où $A$ est une partie de $\Omega.$
Exemple : Une urne contient 7 jetons, dont 5 numérotés de 1 à 5, et 2 portant le numéro 6. On tire un jeton et on s'intéresse au numéro du jeton tiré. Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre pair?
L'univers des possibles est $\Omega=\{1,2,..,6\}.$ La distribution de probabilité associée est : $$p_1=p_2=\cdots=p_5=\frac 17,\ p_6=\frac 27.$$ L'événement $A=$"obtenir un nombre pair" a pour probabilité : $$P(A)=p_2+p_4+p_6=\frac 47.$$
Les hypothèses précédentes ne sont pas toujours envisageables.
Si l'on considère le problème d'un tireur qui tire sur une cible circulaire $C,$ et dont la balle arrive aléatoirement sur la cible,
le résultat de chaque tir peut être représenté par le point d'impact $M.$
L'ensemble des résultats possibles est donc l'ensemble des points de la cible $C,$ et il est infini.
On ne peut plus envisager de donner une probabilité non-nulle à chaque point de la cible. On définit plutôt, pour toute partie $A,$ l'événement : "L'impact est dans $A$". Intuitivement, il semble clair que : $$P(\{\textrm{impact dans }A)=\frac{\textrm{aire($A$)}}{\textrm{aire($C$)}}.$$ Ceci a un sens pour les parties pour lesquelles on peut définir l'aire. Ceci nous amèné à définir, pour un univers $\Omega,$ les ensembles de parties sur lesquelles on peut définir une probabilité.
Une tribu sur $\Omega$ est une partie $\mathcal T$ de l'ensemble des parties de $\Omega$ telle que
- $\Omega\in\mathcal T$;
- Pour tout $A\in\mathcal T$, le complémentaire $\bar A$ est élément de $\mathcal T$;
- Si $(A_n)_{n\in\mathbb N}$ est une suite d'éléments de $\mathcal T$, leur réunion $\bigcup_{n=0}^{+\infty} A_n$ est élément de $\mathcal T$.
Exemple : La tribu triviale $\{\varnothing,\Omega\}$ est une tribu, l'ensemble des parties $\mathcal P(\Omega)$ est une tribu.
Si $\mathcal T$ est une tribu, le couple $(\Omega,\mathcal T)$ s'appelle espace probabilisable.
On fixe $(\Omega,\mathcal T)$ un espace probabilisable. On appelle probabilité sur $(\Omega,\mathcal T)$ une application $P$ définie sur $\mathcal T$, à valeurs dans $[0,1]$ et vérifiant :
- $P(\Omega)=1$;
- Pour toute suite $(A_n)_{n\in\mathbb N}$ d'événements deux à deux incompatibles, $$P\left(\bigcup_{n=0}^{+\infty}A_n\right)=\sum_{n=0}^{+\infty}P(A_n).$$
Le triplet $(\Omega,\mathcal T,P)$ s'appelle alors espace de probabilité. On rappelle que deux événements $A$ et $B$ sont incompatibles si $A\cap B=\varnothing.$
Si $\Omega$ est fini ou dénombrable, et si $\mathcal T=\mathcal P(\Omega)$, la donnée d'une probabilité $P$ correspond à celle d'une famille sommable $(p_\omega)_{\omega\in\Omega}$ de réels positifs et de somme 1 via la formule $P(\{\omega\})=p_\omega$.
- $P(\varnothing)=0$;
- Pour tout $A\in\mathcal T$, $P(\bar A)=1-P(A)$;
- Pour tous $A,B\in\mathcal P(\Omega)$, $A\subset B\implies P(A)\leq P(B)$;
- Pour tous $A,B\in\mathcal P(\Omega)$, $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$.
La théorie des probabilités naît véritablement au XVIIè s. des correspondances entre Blaise Pascal et Pierre de Fermat. Le Traité du triangle arithmétique que Pascal rédige en 1654 est le premier traité moderne d'analyse combinatoire et de calcul des probabilités. L'axiomatisation des probabilités présentée au dernier paragraphe est beaucoup plus récente : elle est due au mathématicien russe Andrei Kolmogorov, en 1929, dans son Traité général de la mesure et théorie des probabilités. Ce traité a beaucoup fait avancer la théorie des probabilités.