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Théorème du point fixe de Banach-Picard

Théorème du point fixe de Banach-Picard : Soit $(E,d)$ un espace métrique complet, et $f : E\to E$ une application contractante, c'est-à-dire qu'il existe $k\in [0,1[$ tel que, pour tout $(x,y)\in E^2$, $$d(f(x),f(y))\leq kd(x,y).$$ Alors $f$ possède un unique point fixe $\ell.$ De plus, toute suite $(u_n)$ définie par $u_0\in E$ et $u_{n+1}=f(u_n),$ $n\geq 0,$ converge vers $\ell$ et on a les estimations suivantes :
  1. $\forall n\in\mathbb N,\ d(u_n,\ell)\leq k^n d(u_0,\ell).$
  2. $\forall n\in\mathbb N,\ d(u_n,\ell)\leq \frac k{1-k} d(u_n,u_{n-1}).$

Le théorème du point fixe est un outil fondamental pour démontrer d'autres résultats importants en analyse : théorème d'inversion locale, théorème de Cauchy-Lipschitz...

C'est à Émile Picard qu'on doit une première forme assez générale du théorème du point fixe, et surtout l'idée de l'utiliser pour démontrer des résultats difficiles d'analyse.
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