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Transformée de Fourier-Plancherel

On ne peut pas en général définir la transformée de Fourier d'une fonction de $L^2(\mathbb R)$ par la formule usuelle car l'intégrale $\int_{\mathbb R}e^{-ixt}f(t)dt$ n'a pas de raison d'exister pour une fonction quelconque de $L^2(\mathbb R).$ Toutefois, on peut étendre la transformée de Fourier aux fonctions de $L^2(\mathbb R)$ par le théorème suivant :

Théorème : La transformée de Fourier, définie sur $L^1(\mathbb R)\cap L^2(\mathbb R),$ se prolonge en un unique automorphisme isométrique de $L^2(\mathbb R)$ qu'on appelle transformée de Fourier-Plancherel et qu'on note $\mathcal F.$ La réciproque de $\mathcal F$ est la transformée de Fourier-Plancherel conjugée $\overline{\mathcal F}.$ En particulier, pour tout $f\in L^2(\mathbb R)$ et presque tout $x\in \mathbb R,$ $$f(x)=\mathcal F(\mathcal F(f))(-x).$$

Une conséquence du théorème précédent est que, pour tout couple $(f,g)$ de $L^2(\mathbb R),$ alors $$\langle \mathcal F(f),\mathcal F(g)\rangle=\langle f,g\rangle.$$ En particulier, $$\|\mathcal F(f)\|_2=\|f\|_2.$$

Si on ne peut pas directement définir $\mathcal F(f)$ pour $f\in L^2(\mathbb R)$ par une intégrale, on a néanmoins le résultat suivant : soit $f$ une fonction de $L^2(\mathbb R)$. Pour $A>0$, on définit $$\varphi_A(f)(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-A}^A f(t)e^{-ixt}dt.$$ Alors, $\varphi_A(f)$ converge dans $L^2(\mathbb R)$ quand $A$ tend vers l'infini vers $\mathcal F(f).$

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