Courbes fractales de Peano et de Hilbert

Il est bien connu, en géométrie, qu'un point est de dimension 0, et qu'une courbe est de dimension 1. En particulier une courbe ne peut jamais remplir tout l'espace ! Eh bien, détrompez-vous ! Le mathématicien italien Giuseppe Peano a construit en 1890 une courbe qui remplit tout le carré, sans jamais se recouper. Voyons comment faire : on partage un carré en 9 petits carrés égaux, et on exécute le dessin suivant :

Ce dessin sera le motif de base. Partageons maintenant toujours notre carré en 9, mais dans chaque petit carré, on trace le motif de base, que l'on peut tourner de sorte que l'on fasse un chemin continu. On obtient quelque chose comme :

Et on répète ainsi l'opération. La courbe ainsi obtenue à la limite (il n'y a pas de magie dans ce passage à la limite - on peut écrire une formule mathématique précise) est la courbe de Peano, qui remplit le carré. C'est une fractale, qui se caractérise notamment par son autosimilarité.

Plus généralement, une courbe qui est une surjection continue de $[0,1]×[0,1]$ dans $[0,1]$ est appelée courbe de Peano. Quelques années après Peano, en 1896, Hilbert en a donné une autre dont voici les premiers motifs :

C'est Cantor qui le premier remarqua que l'intervalle $[0,1]$ et le carré $[0,1]^2$ pouvaient être mis en bijection. Peu de temps après, Netto démontra qu'une telle bijection ne pouvait pas être continue. En particulier, la courbe de Peano, qui est continue et est surjective, ne peut pas être injective.