Théorème de Parseval
Théorème : Soit $f$ une fonction continue par morceaux, $2\pi-$périodique. Alors on a les égalités suivantes :
\begin{align*}
\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}|f(t)|^2dt&=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}|c_n(f)|^2\\
&=|a_0(f)|^2+\frac12\left(\sum_{n=1}^{+\infty}|a_n(f)|^2+|b_n(f)|^2\right).
\end{align*}
Ici, $a_n(f)$, $b_n(f)$ et $c_n(f)$ désignent les coefficients de Fourier de $f.$
Il s'agit d'un résultat très utile, à la fois sur un plan théorique (pour montrer par exemple que l'application qui à une fonction continue associe ses coefficients de Fourier est injective) et sur un plan pratique (pour calculer la somme de certaines séries). Il se généralise à une fonction $2\pi$-périodique de carré intégrable sur $[0,2\pi].$

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