Paradoxe de Dougherty-Foreman
Théorème : Soit $A$ et $B$ deux ensembles ouverts bornés non vides de $\mathbb R^n$ avec $n\geq 3$.
Alors il existe des ensembles ouverts $A_1,\dots,A_n$ (respectivement $B_1,\dots,B_n$)
deux à deux disjoints et contenus dans $A$ (respectivement dans $B$) tels que :
- pour tout $i=1,\dots,n$, les ensembles $A_i$ et $B_i$ sont isométriques ;
- $A$ et $B$ sont contenus respectivement dans l'adhérence de $\bigcup_{i=1}^n A_i$ et $\bigcup_{i=1}^n B_i$.
Autrement dit, on peut découper le soleil en un nombre fini d'ouverts deux à deux disjoints, et en ne laissant aucun trou de rayon strictement positif, de sorte que, en déplaçant ces ouverts (sans chercher à modifier leur forme), tout en les laissant deux à deux disjoints, ils rentrent dans un petit pois ! Ce paradoxe très étonnant fait penser au paradoxe de Banach-Tarski. Cependant, contrairement à ce dernier, sa preuve ne nécessite pas l'utilisation de l'axiome du choix.
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