Plan osculateur
Soit $(I,f)$ un arc paramétré de l'espace $\mathbb R^3$ et $C=f(I)$ la courbe paramétrée associée. En un point régulier $M=f(t)$ de la courbe, on peut associer une droite tangente, dirigée par le vecteur $f'(t).$ Cette droite tangente est contenue dans une infinité de plans, qui sont tous tangents à la courbe. Parmi ces plans tangents, il en est un qui joue un rôle particulier, le plan osculateur.
Théorème et définition :
Soit $(I,f)$ un arc paramétré de $\mathbb R^3$ et $C=f(I)$ la courbe associée.
On appelle plan osculateur de $C$ en $M=f(t)$ le plan limite, s'il existe,
des plans tangents à $f(t)$ astreints à
passer par $f(t+h),$ lorsque h tend vers 0.
Si $f$ est de classe $\mathcal C^m,$ et s'il existe deux vecteurs
$f^{(k)}(t)$ et $f^{(l)}(t)$, $1\leq k<l\leq m$ qui sont linéairement indépendants, on note
\begin{align*}
p&=\min\{k\in\{1,\dots,m\}:\ f^{(k)}(t)\neq 0\}\\
q&=\min\{k\in\{p+1,\dots,m\}:\ (f^{(p)}(t),f^{(k)}(t))\textrm{ est libre}\}.
\end{align*}
Alors $C$ possède un plan osculateur en $f(t)$ de vecteurs directeurs $f^{(p)}(t)$ et $f^{(q)}(t).$
Lorsque l'arc est trirégulier, on a encore une autre caractérisation du plan osculateur : c'est le seul plan tangent qui est traversé par la courbe.
Le mot osculateur vient du latin "osculare", caresser.Consulter aussi
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