Octaves de Cayley

L'algèbre des octaves de Cayley, ou algèbre des octonions, est une algèbre non commutative et non associative, mais où tout élément non nul possède un inverse, qui est aussi un espace vectoriel de dimension 8 sur $\mathbb R.$ Elle est fabriquée à partir des quaternions comme les nombres complexes le sont à partir des nombres réels, ou les quaternions à partir des nombres complexes.

On définit $\mathbb O$ comme le produit cartésien $\mathbb H\times\mathbb H,$ où $\mathbb H$ est l'algèbre des quaternions. $\mathbb O$ a donc une structure d'espace vectoriel de dimension 8 sur $\mathbb R.$ On définit sur $\mathbb O$ une multiplication de la façon suivante : $$(a,b)\times (c,d)=(ac-\bar d b,b\bar c+da).$$ L'algèbre $\mathbb O$ n'est pas commutative (l'algèbre des quaternions ne l'était pas non plus). Elle n'est pas non plus associative : elle vérifie en effet $$(e_1e_2)e_4=-e_1(e_2e_4)$$ où $e_i$ représente le $i$-ème vecteur de la base canonique si on identifie $\mathbb O$ à $\mathbb R^8$. Elle vérifie toutefois la propriété plus faible suivante, dite alternativité : pour tous $x,y$ de $\mathbb O$, on a $$xy^2=(xy).y\textrm{ et }x^2y=x.(xy)$$ On peut définir le conjugué d'un octave par $$\overline{(a,b)}=(\bar a,\overline{-b})$$ et sa norme par $$N(x)=x\bar x=\bar x x.$$ On vérifie alors que tout $x$ de $\mathbb O$ est inversible, son inverse étant donné par $$x^{-1}=\frac{\bar x}{N(x)}.$$

Les quaternions ont été inventés par Sir William Rowan Hamilton en octobre 1843. Son ami John Graves, qui se demande si une telle construction est possible pour une autre dimension que 4, invente dans la foulée les octonions. Une lettre envoyée à Hamilton atteste sa découverte. Cependant, il ne publie pas immédiatement cette découverte. Pendant ce temps, Arthur Cayley travaille sur le même sujet et publie en mars 1845 un article où il construit le même objet. Le mal est fait. Malgré les protestations de Graves et même une intervention de Hamilton, les octonions seront aussi connus comme nombres de Cayley.