Noyaux trigonométriques
L'étude des séries de Fourier nécessite parfois l'introduction de noyaux trigonométriques, qui sont certains polynômes trigonométriques particuliers. Les noyaux trigonométriques les plus importants sont :
- le noyau de Dirichlet, défini par : $$D_N(t)=\sum_{n=-N}^N e^{int}=1+2\sum_{k=1}^N \cos(kt).$$ Il vérifie $$D_N(t)=\left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle \frac{\sin\left(\left(N+\frac 12\right)t\right)}{\sin\left(\frac t2\right)}&\textrm{ si }t\notin 2\pi\mathbb Z\\ 2N+1&\textrm{ sinon.} \end{array}\right.$$ Le noyau de Dirichlet est pair, et vérifie pour tout $N\geq 1,$ $$\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}|D_N(t)|dt=\frac 4{\pi^2}\ln(N)+O(1).$$
- le noyau de Fejér, défini par : $$K_N(t)=\frac{D_0(t)+\cdots+D_{N-1}(t)}{N}=\sum_{n=-N}^N \left(1-\frac{|n|}N\right)e^{int}.$$ Il vérifie $$K_N(t)=\left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle \frac 1N\left(\frac{\sin(Nt/2)}{\sin(t/2)}\right)^2&\textrm{ si }t\notin 2\pi\mathbb Z\\ N&\textrm{ sinon.} \end{array}\right.$$ En particulier, le noyau de Fejér est positif. Il est pair, et pour tout $N\geq 1,$ $$\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} K_N(t)dt=1.$$
- le noyau de Jackson, défini par : $$J_N(t)=\frac{1}{\int_0^{2\pi}|K_N(t)|^2dt}K_N^2.$$
Ils sont importants, car les sommes partielles de la série de Fourier de $f$, ou les sommes de Fejér, apparaissent comme des "produits de convolution" de ces noyaux trigonométriques. Ainsi, si $S_n(f)$ désigne la $n$-ième somme partielle de la série de Fourier de $f$, on a $$S_n(f)(x)=\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}f(x-t)D_n(t)dt$$ $$\frac{S_0(f)(x)+\cdots+S_{N-1}(f)(x)}{N}=\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}f(x-t)K_n(t)dt.$$ Les propriétés des séries de Fourier peuvent alors être une conséquence de propriétés plus générales concernant ce type d'opérateurs de convolution (on parle d'opérateurs à noyaux) et aussi de propriétés des noyaux trigonométriques correspondants (par exemple être une suite régularisante).