Norme et trace d'une extension

Soit $K\subset L$ une extension de corps de degré fini $n.$ Pour $x\in L$, l'application $u_x : L\to L, y \mapsto xy$ est un endomorphisme du $K$-espace vectoriel $L.$ On pose $N_{L/K}(x) = \det(u_x),$ $\textrm{Tr}_{L/K}(x) = \textrm{Tr}(u_x).$ On dit que $N_{L/K}(x)$ (resp. $\textrm{Tr}_{L/K}(x)$) est la norme (resp. la trace) de $x$ relativement à $K.$ Si $\lambda \in K$ et $x, y \in L,$ on a immédiatement \begin{eqnarray*} \textrm{Tr}_{L/K}(x),N_{L/K}(x)&\in&K\\ \textrm{Tr}_{L/K}(\lambda\cdot x+y) &=& \lambda\cdot \textrm{Tr}_{L/K}(x) + \textrm{Tr}_{L/K}(y)\\ \textrm{Tr}_{L/K}(\lambda) &=& n \lambda\\ N_{L/K}(\lambda\cdot x\cdot y) &=& \lambda^n \cdot N_{L/K}(x) \cdot N_{L/K}(y)\\ N_{L/K}(\lambda) &=& \lambda^n\\ N_{L/K}(x) &=& 0 \iff x = 0\\ N_{L/K}(x^{-1}) &=& [N_{L/K}(x)]^{-1}\iff \ x\neq 0. \end{eqnarray*}