Extension normale
Soit $K$ un corps et $L$ une extension algébrique de $K$. On dit que $L$ est une extension normale de $K$ lorsque, chaque fois qu'un polynôme $P$ irréductible de $K[X]$ a au moins une racine dans $L$, il est scindé sur $L$.
Exemple :
- $K$ est une extension normale de lui-même.
- La clôture algébrique de $K$ est une extension normale de $K$.
- Le polynôme $P(X)=X^3-2$ est irréductible. Soit $K=\mathbb Q$ et $L=\mathbb Q(\sqrt[3]{2})$. Alors $P$ a une racine dans $L$ mais n'a pas toutes ses racines dans $L$ (puisque $L\subset\mathbb R$ et que $P$ admet deux racines qui ne sont pas réelles). Ainsi, $L$ n'est pas une extension normale de $K.$
- Toute extension quadratique est une extension normale.
Théorème : Soit $K$ un corps et $L$ une extension algébrique de $K$.
Alors les assertions suivantes sont équivalentes :
- $L$ est une extension normale de $K$.
- $L$ est le corps de décomposition d'une famille de polynômes de $K[X]$.
- tout $K$-morphisme de corps de $L$ à valeurs dans une clôture algébrique de $K$ contenant $L$ est un automorphisme de $L.$
- les conjugués sur $K$ de tout élément de $L$ dans une clôture algébrique de $L$ appartiennent encore à $L.$
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