Nombres octogonaux
Les nombres octogonaux sont des nombres figurés dont la construction est réalisée à partir de octogones réguliers gigognes. On construit successivement les figures suivantes :
- La première figure consiste en un seul point et $O_1=1$.
- La deuxième figure consiste en un octogone régulier de côté 1cm dont un sommet est le point précédent. Le nombre octogonal $O_2$ compte le nombre de sommets de ce polygone, à savoir $O_2=8$.
- La troisième figure consiste, à partir de la figure précédente, à construire un octogone régulier de côté 2cm dont deux côtés sont communs avec l'octogone précédent. Sur chaque côté, on place un point tous les cm. Le nombre octogonal $O_3$ est le nombre de points marqués, à savoir $O_3=21$.
- La quatrième figure consiste, à partir de la figure précédente, à construire un octogone régulier de côté 3cm dont deux côtés sont communs avec les octogones précédents. Sur chaque côté, on place un point tous les cm. Le nombre octogonal $O_4$ est le nombre de points marqués, à savoir $O_3=40$.
Théorème : Le $n$-ième nombre octogonal $O_n$ est égal à
$$O_n=3n^2-2n.$$
Une façon de prouver ce résultat est de remarquer que la suite $(O_n)$ vérifie la relation de récurrence
$$O_{n+1}=O_n+(6n-5).$$
La suite $(u_n)$ définie par $u_n=O_{n+1}-O_n$ est alors une suite arithmétique (de raison 6), et par les formules
habituelles, il est facile de calculer $u_1+\dots+u_{n-1}$. Mais,
$$u_1+\dots+u_{n-1}=O_n.$$
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