Anneau noethérien
Un anneau commutatif $A$ est noethérien si tout idéal de $A$ est engendré par un nombre fini d'éléments, c'est-à-dire si pour tout idéal $I$ de $A$, il existe des éléments $x_1,\dots,x_n$ de $A$ tel que tout élément de $I$ s'écrive $a_1x_1+\cdots+a_nx_n$, avec $a_i\in A$.
Théorème : Les propositions suivantes sont équivalentes :
- $A$ est un anneau noethérien.
- toute suite d'idéaux de $A$ croissante pour l'inclusion est stationnaire.
- tout ensemble non vide d'idéaux de $A$ possède un élément maximal pour l'inclusion.
Exemples :
- Tout anneau fini est noethérien.
- Tout anneau principal est noethérien : c'est par exemple le cas de $\mathbb Z$ et de $\mathbb K[X].$
- Si $A$ est un anneau commutatif noethérien, alors l'anneau $A[X_1,\dots,X_n]$ des polynômes en $n$ indéterminées à coefficients dans $A$ est noethérien. De même, si $A$ est commutatif noethérien, alors l'anneau des séries formelles $A[[X]]$ à coefficients dans $A$ est noethérien tout comme l'anneau de séries formelles à plusieurs indéterminées $A[[X_1,\dots, X_n]].$
- L'anneau des polynômes en une infinité d'indéterminées sur un corps $\mathbb K$ n'est pas noethérien. En effet, la suite d'idéaux $(I_n)$ tel que $I_n$ est l'idéal engendré par $X_1,\dots,X_n$ est une suite croissante d'idéaux qui n'est pas stationnaire.
- Tout quotient, tout produit direct fini d'anneaux noethériens est noethérien.
- Tout localisé d'un anneau noethérien est noethérien.
- En général, un sous-anneau d'un anneau noethérien n'est pas noethérien (par exemple l'anneau de polynômes en une infinité d'indéterminées à coefficients dans un corps n'est pas noethérien, mais c'est un sous-anneau de son corps des fractions qui est noethérien).
C'est Claude Chevalley qui associe le premier le nom de Noether à la condition de croissance
des chaînes d'idéaux.
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