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Groupe nilpotent

Soit $G$ un groupe. Pour $A$ et $B$ deux sous-groupes de $G$, on définit $[A,B]$ comme le sous-groupe engendré par les commutateurs $xyx^{-1}y^{-1}$ avec $x\in A$ et $y\in B$. On appelle suite centrale descendante la suite $(C^n(G))$ de sous-groupes de $G$ définie par $C^1(G)=G$ et $C^{n+1}(G)=[G,C^n(G)]$. En particulier, $C^2(G)$ est le groupe dérivé de $G$.

La suite $(C^n(G))$ est décroissante pour l'inclusion. On dit que $G$ est un groupe nilpotent s'il existe $n\geq 1$ tel que $C^n(G)=\{e\}.$ Le plus petit entier $n$ tel que $C^{n+1}(G)=\{e\}$ s'appelle la classe de nilpotence de $G$.

Les groupes nilpotents partagent les propriétés suivantes :

  • Tout groupe nilpotent est résoluble.
  • Un $p$-groupe fini est nilpotent.
  • Un groupe nilpotent fini est produit direct de groupes dont les ordres sont des puissances de nombres premiers.
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