Endomorphisme nilpotent

Soit $E$ un espace vectoriel et $u$ un endomorphisme de $E$. On dit que $u$ est nilpotent s'il existe un entier $n\geq 1$ tel que $u^n=0$. Le plus petit entier $n$ qui convient est appelé indice de nilpotence de $u$. L'indice de nilpotence de $u$ est aussi son indice en tant qu'endomorphisme de $E,$ c'est-à-dire le plus petit entier $n$ tel que $\ker(u^n)=\ker(u^{n+1}).$

Lorsque $E$ est de dimension finie $d$, l'indice de nilpotence $p$ d'un endomorphisme nilpotent $u$ est inférieur ou égal à $d$. En particulier, le polynôme caractéristique de $u$ est $X^d$ et son polynôme minimal est $X^p$.

Les endomorphismes nilpotents interviennent dans divers théorèmes de réduction des endomorphismes (réduction de Dunford-Jordan, réduction de Jordan). Ils possèdent les propriétés suivantes :