Nombres diophantiens

Par le théorème de Dirichlet, tout nombre irrationel peut être plutôt bien approché par des rationnels $p/q$ : si $\alpha$ est irrationnel, il existe une infinité de rationnels $p/q$ tels que $$\left|\alpha-\frac pq\right|\leq\frac 1{q^2}.$$ On peut bien sûr se demander si on peut faire mieux que l'exposant $2$ qui apparaît à droite. Les nombres diophantiens sont ceux pour lesquels il y a une limite à la qualité de l'approximation.

On dit qu'un nombre irrationnel $\alpha$ est un nombre diophantien s'il existe $C>0$ et $r>2$ tel que, pour tout rationnel $p/q$, on a $$\left|\alpha-\frac pq\right|>\frac C{q^r}.$$ Les nombres diophantiens sont donc les irrationnels qui sont mal approchés par les nombres rationnels.