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Construction de Napoléon

Vous venez de tracer un cercle... Malheureusement, vous avez oublié de marquer le centre. Vous ne disposez que d'un compas, et vous souhaiteriez retrouver le centre de ce cercle très précisément. Voici comment faire :

  • Prenez un point $A$ sur le cercle.
  • Tracer un cercle de centre $A,$ de rayon plus petit que le cercle initial (c'est le cercle en traits rouges épais sur la figure). Ce cercle coupe le cercle de départ en $B$ et $C.$
  • Tracer les cercles de centre $B$ et $C,$ et de rayon $AB=AC$ (cercles en pointillés rouges sur la figure). Ils se coupent bien sûr en $A,$ et aussi en $K.$
  • Tracer le cercle de centre $K$ et de rayon $AK$ (en trait vert épais). Il coupe le premier cercle construit en $J$ et $L.$
  • Tracer les cercles de centre respectifs $L$ et $J,$ et de rayon $LA=JA.$ Ils se coupent en $A\dots$ et au centre du cercle initial!

Ceci fonctionne toujours, comme vous pouvez le constater sur la figure suivante, à condition que le rayon du premier cercle construit ne soit pas trop petit (il doit au moins être la moitié du rayon du cercle initial). Les points mobiles sur la figure sont le point $A$ et le point $B.$

Cette construction célèbre est attribuée à Napoléon, auquel est aussi attribué un théorème concernant une configuration de triangles. Il est assez probable qu'elle soit en fait due à un de ses courtisans, probablement le géomètre italien Lorenzo Mascheroni, auteur du livre La geometria del Compasso (1797), que Napoléon a rencontré au cours de la campagne d'Italie. La preuve que la construction donne bien le centre du cercle initial n'est pas si facile. Elle peut par exemple se faire en utilisant des inversions. Si l'on était autorisé à utiliser également une règle, on pourrait trouver une construction plus facile (par exemple, en fabriquant la médiatrice de [BC]...). La construction de Napoléon peut en ce sens être vu comme un particulier du résultat suivant, qui dit que tout point constructible à la règle et au compas est en fait constructible au compas seulement.
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