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Applications et formes multilinéaires

Soit $E,F$ deux espaces vectoriels sur un corps $\mathbb K$, et $f$ une application de $E^p$ dans $F.$ On dit que $f$ est une application $p$-linéaire, si, pour tout $i$ dans $\{1,\dots,p\}$, pour tous vecteurs $u_1,\dots,u_p\in E$, les applications partielles : $$ \begin{array}{rcl} E&\to& F\\ x&\mapsto&f(u_1,\dots,u_{i-1},x,u_{i+1},\dots,u_p) \end{array}$$ sont linéaires. On dit que $f$ est une forme $p$-linéaire si $F=\mathbb K.$ En particulier, une application 1-linéaire est une application linéaire. On dit plutôt application bilinéaire pour une application $2$-linéaire.

Exemple : L'application $\phi:\mathbb R[X]\times\mathbb R[X],\ (P,Q)\mapsto P(0)Q(1)$ est bilinéaire.

On dit qu'une application multilinéaire est :

  • alternée si $f(x_1,\dots,x_p)=0$ dès que deux vecteurs parmi les $x_i$ sont égaux.
  • antisymétrique si l'échange de deux vecteurs dans la suite $(x_1,\dots,x_p)$ donne à $f$ des valeurs opposées. Ceci revient à dire que, pour toute permutation $\sigma\in S_p,$ pour tout $(x_1,\dots,x_p)\in E^p,$ on a $$f(x_{\sigma(1)},\dots,x_{\sigma(p)})=\veps(\sigma)f(\sigma_1,\dots,\sigma_p).$$
  • symétrique si toute permutation dans la suite $(x_1,\dots,x_p)$ ne change pas la valeur de $f$.

Toute application alternée est antisymétrique. La réciproque est vraie lorsque $\mathbb K$ est de caractéristique différente de 2, en particulier si $\mathbb K=\mathbb R$ ou $\mathbb C.$

Les formes multilinéaires sont importantes pour donner une définition théorique du déterminant :

Théorème : L'ensemble des formes $n$-linéaires alternées sur un espace vectoriel $E$ de dimension $n$ est un espace vectoriel de dimension 1. En outre, si $\mathcal B$ est une base donnée de $E$, il existe une et une seule forme $n$-linéaire alternée prenant la valeur 1 sur $\mathcal B$. On l'appelle déterminant dans la base $\mathcal B$.
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