Applications et formes multilinéaires
Soit $E,F$ deux espaces vectoriels sur un corps $\mathbb K$, et $f$ une application de $E^p$ dans $F.$ On dit que $f$ est une application $p$-linéaire, si, pour tout $i$ dans $\{1,\dots,p\}$, pour tous vecteurs $u_1,\dots,u_p\in E$, les applications partielles : $$ \begin{array}{rcl} E&\to& F\\ x&\mapsto&f(u_1,\dots,u_{i-1},x,u_{i+1},\dots,u_p) \end{array}$$ sont linéaires. On dit que $f$ est une forme $p$-linéaire si $F=\mathbb K.$ En particulier, une application 1-linéaire est une application linéaire. On dit plutôt application bilinéaire pour une application $2$-linéaire.
Exemple : L'application $\phi:\mathbb R[X]\times\mathbb R[X],\ (P,Q)\mapsto P(0)Q(1)$ est bilinéaire.
On dit qu'une application multilinéaire est :
- alternée si $f(x_1,\dots,x_p)=0$ dès que deux vecteurs parmi les $x_i$ sont égaux.
- antisymétrique si l'échange de deux vecteurs dans la suite $(x_1,\dots,x_p)$ donne à $f$ des valeurs opposées. Ceci revient à dire que, pour toute permutation $\sigma\in S_p,$ pour tout $(x_1,\dots,x_p)\in E^p,$ on a $$f(x_{\sigma(1)},\dots,x_{\sigma(p)})=\veps(\sigma)f(\sigma_1,\dots,\sigma_p).$$
- symétrique si toute permutation dans la suite $(x_1,\dots,x_p)$ ne change pas la valeur de $f$.
Toute application alternée est antisymétrique. La réciproque est vraie lorsque $\mathbb K$ est de caractéristique différente de 2, en particulier si $\mathbb K=\mathbb R$ ou $\mathbb C.$
Les formes multilinéaires sont importantes pour donner une définition théorique du déterminant :