Théorème de Montel
Une suite $(f_n)$ de fonctions définies sur un ouvert $U$ de $\mathbb C$ est appelée une famille normale si l'on peut extraire de $(f_n)$ une sous-suite qui converge uniformément sur un voisinage de tout point de $U$.
Le théorème de Montel est une condition suffisante très simple pour vérifier qu'une suite $(f_n)$ de fonctions holomorphes est une famille normale.
La réciproque du théorème de Montel est facile (toute suite qui converge uniformément sur toutes les parties compactes est uniformément bornée sur chaque compact. Si on munit $H(U),$ l'espace des fonctions holomorphes sur $U,$ d'une métrique adéquate, on peut en déduire une variante du théorème d'Ascoli. Considérons en effet une suite $(K_n)_{n\geq 1}$ de parties compactes de $U$ vérifiant les propriétés suivantes :
- pour tout entier $n\geq 1$, $K_n\subset \mathring{K_{n+1}};$
- pour toute partie compacte $K$ de $U,$ il existe un entier $n\geq 1$ tel que $K\subset K_n$.
On dit que $(K_n)$ est une suite exhaustive de compacts de $U.$
Pour $f\in H(U)$ et $n\geq 1,$ on pose $$p_n(f)=\sup_{z\in K_n}|f(z)|.$$ On définit alors une distance $d$ sur $H(U)$ par $$d(f,g)=\sum_{n\geq 1} 2^{-n}\frac{p_n(f-g)}{1+p_n(f-g)}.$$ On démontre que $(H(U),d)$ est un espace métrique complet et qu'une suite $(f_n)$ de $H(U)$ converge vers $f\in H(U)$ pour $d$ si et seulement si $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ sur tous les compacts de $U$.
On dit qu'une partie $A$ de $H(U)$ est localement bornée si, pour tout $n\geq 1,$ il existe $M>0$ tel que, pour tout $f\in A$ et tout $z\in K,$ $|f(z)|\leq M.$
Le théorème de Montel peut alors s'énoncer comme suit :
- $A$ est localement bornée.
- $A$ est relativement compacte.
Le théorème de Montel est une variante du théorème d'Ascoli
pour les fonctions holomorphes. Ce sont les inégalités de Cauchy qui permettent de démontrer que
la suite $(f_n)$ a des propriétés d'équicontinuité.