Module sur un anneau
La théorie des espaces vectoriels est une des bases des mathématiques. Parfois, cependant, la multiplication externe n'est définie que sur un anneau, et non sur un corps. Il existe tout de même dans ce cadre des outils d'algèbre linéaire :
Définition : Soit $A$ un anneau commutatif. Un ensemble $M$, muni de deux opérations $+:M\times M\to M$
et $\cdot:A\times M\to M$ est appelé un $A$-module si :
- $(M,+)$ est un groupe abélien.
- Pour tous $a$ et $b$ de $A,$ et tous $x,y$ de $M$, on a : $$\left\{ \begin{array}{l} (a+b)\cdot x=a\cdot x+b\cdot x\\ a\cdot(x+y)=a\cdot x+a\cdot y\\ (ab)\cdot x=a\cdot(b\cdot x)\\ 1_A\cdot x=x. \end{array} \right.$$
Exemples :
- Tout groupe abélien peut être vu comme un $\mathbb Z$-module. Tout anneau $A$ est un $A$-module. Les sous-$A$-modules de $A$ sont alors les idéaux de $A.$
- Tout $\mathbb K$-espace vectoriel, où $\mathbb K$ est un corps, est un $\mathbb K$-module.
La théorie des modules est considérablement plus compliquée que celle des espaces vectoriels.
Ainsi, un module n'admet pas en général de base. Toutefois, il existe de bons théorèmes de structure dans le cas où $A$ est principal.
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