$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Espace-temps de Minkowski

L'espace-temps de Minkowski est un espace affine de dimension 4 sur $\mathbb R$ muni d'une forme quadratique $q$ de signature $(3,1)$, c'est-à-dire que $$q(x,y,z,t)=x^2+y^2+z^2-c\cdot t^2.$$ Cet espace modélise l'espace physique pour la théorie de la relativité restreinte. Le temps $t$ est une coordonnée indissociable des variables d'espaces $(x,y,z)$, il intervient dans la géométrie de l'espace. c est la vitesse de la lumière.

Un élément $M(x,y,z,t)$ de cet espace s'appelle un événement (on est au point $(x,y,z)$ au temps $t$). Un autre point $M'(x',y',z',t')$ fait partie du futur de $M$ si $$\left\{ \begin{array}c q(\overrightarrow{MM'})\leq 0\\ t'\geq t \end{array}\right. \iff \left\{ \begin{array}c (x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2\leq c^2(t-t')^2\\ t'\geq t \end{array}\right. $$ Ceci signifie qu'en se déplaçant au plus à la vitesse de la lumière (contrainte physique), un observateur au point $(x,y,z)$ au temps $t$ pourra se rendre en $(x',y',z')$ au temps $t'$. De même, $M'$ fait partie du passé de $M$ si $$\left\{ \begin{array}c q(\overrightarrow{MM'})\leq 0\\ t'\geq t. \end{array}\right. $$ En particulier, il existe des événements qui se sont déroulés avant $M$ (car $t'<t$) mais dont on ne peut pas avoir connaissance en $M$.

Einstein fut élève de Minkowski alors qu'il avait 17 ans. Mais Einstein s'ennuyait au cours de Minkowski, tandis que ce dernier n'avait détecté à aucun moment le génie de son élève!
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