$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Mesure absolument continue

Soit $(X,\mathcal A,\mu)$ un espace mesuré et $\nu$ une mesure sur $(X,\mathcal A)$. On dit que $\nu$ est absolument continue par rapport à $\mu$ si, pour tout $A\in\mathcal A$, $\mu(A)=0\implies \nu(A)=0$. On note $\nu\ll\mu.$

Théorème : Soit $(X,\mathcal A,\mu)$ un espace mesuré et $\nu$ une mesure sur $(X,\mathcal A)$. On suppose que $\mu$ et $\nu$ sont $\sigma$-finies. Alors $\nu$ est absolument continue par rapport à $\mu$ si et seulement s'il existe une fonction mesurable $f:(X,\mathcal A)\to (\mathbb R_+,\mathcal B(\mathbb R_+))$ telle que, pour tout $A\in\mathcal A$, $$\nu(A)=\int_X \mathbf 1_A(x) f(x)d\mu(x).$$ La fonction $f$ s'appelle alors la dérivée de Radon-Nikodym de $\nu$ par rapport à $\mu$ et est parfois notée $\frac{d\nu}{d\mu}$.
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