Mesure absolument continue
Soit $(X,\mathcal A,\mu)$ un espace mesuré et $\nu$ une mesure sur $(X,\mathcal A)$. On dit que $\nu$ est absolument continue par rapport à $\mu$ si, pour tout $A\in\mathcal A$, $\mu(A)=0\implies \nu(A)=0$. On note $\nu\ll\mu.$
Théorème : Soit $(X,\mathcal A,\mu)$ un espace mesuré et $\nu$ une mesure sur $(X,\mathcal A)$.
On suppose que $\mu$ et $\nu$ sont $\sigma$-finies.
Alors $\nu$ est absolument continue par rapport à $\mu$ si et seulement s'il existe une fonction mesurable $f:(X,\mathcal A)\to (\mathbb R_+,\mathcal B(\mathbb R_+))$ telle que, pour tout $A\in\mathcal A$,
$$\nu(A)=\int_X \mathbf 1_A(x) f(x)d\mu(x).$$
La fonction $f$ s'appelle alors la dérivée de Radon-Nikodym de $\nu$ par rapport
à $\mu$ et est parfois notée $\frac{d\nu}{d\mu}$.
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