Mésolabe d'Eratosthène

Pour les Grecs, l'un des problèmes les plus importants était la duplication du cube, c'est-à-dire, étant donné un cube, fabriquer un cube de volume double. Autrement dit, si l'arête du premier cube mesure $c,$ et celle du second $C,$ il faut que $C^3=2c^3.$ Le mésolabe d'Eratosthène est un instrument permettant une telle construction (approchée), à l'aide de l'insertion de moyennes proportionnelles. Soit en effet la figure suivante :

$AB$ est le côté du premier cube. $GHJK$ est un rectangle tel que $A$ est sur $[GK]$, $(GH)$ et $(AB)$ sont parallèles et $GH$ vaut le double de $AB.$ On insère entre $A$ et $G$ deux points $C$ et $E.$ On construit alors le triangle rectangle $EHE_1$ comme sur la figure ci-dessous, puis on translate ce triangle le long de la droite $(GK)$ en $C$ et en $A.$ On note $F$ le point d'intersection de l'hypoténuse du triangle issu de $C$ avec $(EE_1),$ puis $D$ le point d'intersection de l'hypoténuse du triangle issu de $A$ avec $(CC_1).$ Supposons maintenant que l'on ait réussi à disposer les points $C$ et $E$ de sorte que l'on soit dans la configuration particulière suivante, c'est-à-dire que $H,F,D,K$ et $B$ soient alignés.

Le théorème de Thalès, appliqué dans le triangle $CDK$ donne $$\frac{AB}{CD}=\frac{KA}{KC}.$$ D'autre part, toujours d'après le théorème de Thalès, mais cette fois dans le triangle $KCF,$ on a $$\frac{KA}{KC}=\frac{KD}{KF}.$$ Une dernière application du théorème de Thalès dans le triangle $KEF$ donne $$\frac{KD}{KF}=\frac{CD}{EF}.$$ Ainsi, on a prouvé que $$\frac{AB}{CD}=\frac{CD}{EF}.$$ Exactement de la même façon, on montre l'égalité $$\frac{CD}{EF}=\frac{EF}{GH}.$$ Ainsi, on a $$\frac{AB}{CD}=\frac{CD}{EF}=\frac{EF}{GH}$$ ce qui implique $$\left(\frac{AB}{CD}\right)^3=\frac{AB}{GH}.$$ Maintenant, puisqu'on a $\frac{AB}{GH}=\frac 12,$ on a $CD^3=2AB^3,$ et on a réalisé la duplication du cube! Le problème maintenant est de réussir à aligner les points $H,F,D,B$ et $K.$ Dans le mésolabe, les points $C$ et $E$ sont mobiles, et il faut réussir à tout aligner. Essayez donc avec la figure suivante, et vous verrez que ce n'est pas si facile!

L'idéal pour les grecs aurait été de réussir la duplication du cube à partir de la règle et du compas, qui seul sont les instruments qui permettent une construction juste. Hélas, ils n'y parvinrent pas, et pour cause ! On sait depuis le XIX^è siècle qu'il s'agit là d'un problème impossible à résoudre !