Fonctions méromorphes et singularités
Soit une fonction $F$ holomorphe en tout point d'un ouvert $U$, sauf peut-être en $w$. On distingue les comportements suivants :
- Il existe un voisinage $V$ de $w$ tel que $F$ est bornée sur $V\backslash\{w\}$ : on dit que $F$ présente une fausse singularité (ou singularité éliminable, effaçable, apparente) en $w$, car dans ce cas $F$ peut être prolongée en une fonction holomorphe en $w$. C'est le cas de $F(z)=\sin z/z$ au point $0$.
- $\lim_{z\to w} |F(z)|=+\infty$ : on dit que $w$ est un pôle de $F.$ C'est le cas de $F(z)=1/(z^2-1)$ aux points $1$ et $-1$.
- Il n'existe pas de voisinage $V$ de $w$ tel que $F$ est bornée sur $V\backslash\{w\}$ et $\lim_{z\to w} |F(z)|\neq +\infty$ : on dit que $w$ est point singulier essentiel pour $F.$ Par exemple, $0$ est point singulier essentiel de $F(z)=\cos(1/z)$. Dans ce cas, l'image par $F$ de tout voisinage épointé de $w$ est dense dans $\mathbb C$ (le grand théorème de Picard précise même encore plus le comportement au voisinage d'une singularité essentielle).
Une fonction $F$ est dite méromorphe dans un ouvert $U$ si elle est holomorphe dans $U\backslash S,$ où $S$ est un ensemble discret, tel que chaque point de $S$ est un pôle pour $F.$
Il existe une définition générale des points singuliers d'une fonction holomorphe : si $F$ est une fonction holomorphe dans un ouvert $U$, et si $w$ est un point sur la frontière de $U$, on dit que :
- $w$ est un point régulier pour $F$ s'il existe un voisinage $V$ de $w$, une fonction holomorphe $G$ dans $V$, tels que $F$ et $G$ coïncident dans l'intersection de $U$ et $V$.
- $w$ est un point singulier pour $F$ dans tous les autres cas.
La frontière de $U$ est une coupure pour $F$ si tous les points de cette frontière sont singuliers pour $F$ : on ne peut pas prolonger holomorphiquement $F$ au-delà de $U$.
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