Théorèmes de Menelaüs et de Céva
Les théorèmes de Céva et de Menelaüs sont des importants théorèmes de géométrie du triangle. Pour les énoncer, on considère dans le plan un triangle $ABC$. Soit $P$, $Q$, $R$ trois points respectivement de $(BC)$, $(AC)$, $(AB)$, qu'on suppose distincts des points $A$, $B$ et $C$.
Le théorème de Menelaüs caractérise l'alignement de $P$, $Q$ et $R$ : $P,$ $Q$ et $R$ sont alignés si et seulement si $$\frac{\overline{PB}}{\overline{PC}}\times \frac{\overline{QC}}{\overline{QA}}\times\frac{\overline{RA}}{\overline{RB}}=1.$$
Le théorème de Céva caractérise le fait que des droites $(AP),$ $(BQ)$ et $(CR)$ (que l'on appelle des céviennes) sont concourantes ou parallèles : $(AP),$ $(BQ)$ et $(CR)$ sont concourantes ou parallèles si et seulement si $$\frac{\overline{PB}}{\overline{PC}}\times \frac{\overline{QC}}{\overline{QA}}\times\frac{\overline{RA}}{\overline{RB}}=-1.$$
Les théorèmes de Menelaüs et de Céva peuvent par exemple se démontrer de façon analytique, en choisissant un repère cartésien (mais en général pas orthonormal), où $A$ est l'origine, $B$ le point de coordonnées $(1,0)$ et $C$ celui de coordonnées $(0,1)$. En géométrie projective, ce sont des théorèmes duaux que l'on peut déduire l'un de l'autre.
Le théorème de Menelaüs était connu avant lui, par exemple d'Hipparque. C'est dans le cadre des triangles sphériques
(qu'il est le premier à étudier dans son ouvrage Sphaerica) que Menelaüs énonce et démontre
son théorème. Presque 1600 ans plus tard, Giovanni Ceva prouve le théorème qui porte son nom dans son ouvrage
De lineis rectis paru en 1678. En réalité, ce résultat était connu depuis fort longtemps
mais était tombé dans l'oubli. On a retrouvé à Istanbul en 1985 un ouvrage de Yusuf al-Mutaman, souverain d'un petit
État autour de Saragosse, dans lequel le théorème de Céva est énoncé. Cet ouvrage date de la fin du XIè siècle.
On doit à Lazare Carnot une généralisation du théorème de Menelaüs où on coupe un triangle avec une courbe algébrique du plan
de degré $n$.
Source : Biographie des grands théorèmes, Bertrand Hauchecorne (Ellipses).