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Matrice d'une forme bilinéaire

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $n$ muni d'une base $\mathcal B=(e_1,\dots,e_n)$. Soit $\varphi$ une forme bilinéaire sur $E$. On appelle matrice de la forme bilinéaire $\varphi$ dans la base $\mathcal B$ la matrice $$A=\left( \begin{array}{cccc} \varphi(e_1,e_1)&\varphi(e_1,e_2)&\dots&\varphi(e_1,e_n)\\ \varphi(e_2,e_1)&\varphi(e_2,e_2)&\dots&\varphi(e_2,e_n)\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ \varphi(e_n,e_1)&\varphi(e_n,e_2)&\dots&\varphi(e_n,e_n) \end{array}\right).$$ Si la forme bilinéaire est symétrique, alors la matrice est de plus symétrique.

Formulaire :

  • Si $X$ est le vecteur colonne représentant $x$ dans la base $\mathcal B$, si $Y$ est le vecteur colonne représentant $y$ dans la base $\mathcal B$, alors on a $$\varphi(x,y)={}^t XAY.$$
  • Soient $\mathcal B_1$ et $\mathcal B_2$ deux bases de $E$. On note $A$ la matrice de $\varphi$ dans la base $\mathcal B_1$, $B$ la matrice de $\varphi$ dans la base $\mathcal B_2$ et $P$ la matrice de passage de $\mathcal B_1$ à $\mathcal B_2$. Alors on a la relation $$B={}^t PAP.$$
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