Théorème de Lucas

Dans le théorème précédent, on confond bien entendu un nombre complexe, et le point du plan qui le représente. Le théorème de Lucas (aussi nommé théorème de Gauss-Lucas) signifie donc que tout zéro de $P'$ s'écrit comme barycentre à coefficients positifs des zéros de $P$. Sa preuve est relativement facile, en utilisant la décomposition en éléments simples de la fraction rationnelle $P'/P$. En effet, si le polynôme $P$ s'écrit : $$P(X)=(X-a_1)^{n_1}\cdots (X-a_p)^{n_p}$$ on a $$\frac{P'(X)}{P(X)}=\sum_{i=1}^p \frac{n_i}{X-a_i}.$$ Soit $b$ une racine de $P'$ qui n'est pas une racine de $P$. On évalue la fraction rationnelle $P'/P$ en $b$, on multiplie chaque dénominateur par sa quantité conjuguée, et on prend le conjugué de tout cela. On obtient : $$\sum_{i=1}^p \frac{n_i(b-a_i)}{|b-a_i|^2}=0.$$ On note maintenant $$\lambda_i=\frac{n_i}{|b-a_i|^2}\geq 0\textrm{ et }\lambda=\lambda_1+\cdots+\lambda_p.$$ On obtient alors $$\lambda b=\lambda_1a_1+\cdots+\lambda_p a_p$$ ce qui est bien le résultat souhaité. On peut encore donner d'autres informations. En effet, le barycentre des racines de $P$ est le même que le barycentre des racines de $P'$, le poids associé à chaque racine étant sa multiplicité comme racine du polynôme. En effet, si on écrit $$P(X)=\mu(X-\alpha_1)\cdots(X-\alpha_n)\textrm{ et }P'(X)=n\mu(X-\beta_1)\cdots (X-\beta_{n-1})$$ (chaque racine étant répétée avec sa multiplicité), le coefficient devant $X^{n-1}$ de $P$ et le coefficient devant $X^{n-2}$ de $P'$ valent respectivement $$-\mu(\alpha_1+\dots+\alpha_n)\textrm{ et }-\mu n(\beta_1+\cdots+\beta_{n-1}).$$ Maintenant, le terme en $X^{n-2}$ de $P'$ est obtenu en dérivant le terme en $X^{n-1}$ de $P$, et on obtient donc $$n(\beta_1+\cdots+\beta_{n-1})=(n-1)(\alpha_1+\dots+\alpha_n).$$ Les barycentres sont bien identiques.

Ce théorème est utilisé implicitement par Gauss mais démontré explicitement par Félix Lucas (qu'il ne faut pas confondre avec l'arithméticien Édouard Lucas) en 1879 dans une note aux Comptes Rendus de l'Académie des Sciences.