L'interaction proies/prédateurs

Le biologiste Umberto d'Ancona constata que, pendant la première guerre mondiale, la baisse de la pêche avait favorisé plutôt les prédateurs que les proies chez les poissons. Son beau-père mathématicien Vito Volterra proposa une explication à ce phénomène. On note $N(t)$ le nombre de proies, et $P(t)$ le nombre de prédateurs, au cours du temps. Volterra propose le modèle suivant pour l'évolution des populations : $$\left\{ \begin{align*} N'(t)&=aN(t)-bN(t)P(t)\\ P'(t)&=cN(t)P(t)-dP(t) \end{align*}\right.$$ avec $a,b,c,d$ des réels positifs. Les termes $aN(t)$ et $-dP(t)$ sont des termes d'évolution des populations en absence d'interaction. On suppose que les proies ont une ressource extérieure abondante (type plancton), et leur reproduction donne un accroissement de la population : $aN(t).$ Les prédateurs se nourissent simplement de proies : en leur absence, ils ont tendance à disparaître, d'où le terme en $-dP(t).$ Les autres termes sont des termes correctifs, pour tenir compte de l'interaction. Plus il y a de proies et de prédateurs, plus de proies vont être mangées, et plus leur nombre aura tendance à diminuer.

On prouve alors les résultats suivants :

On a le diagramme d'évolution suivant (tracé pour $a=b=1$, $c=d=0.3$) :

(il faut comprendre que la population des proies est donnée en abscisse, la population des prédateurs en ordonnée - les courbes représentent, pour 2 valeurs initiales différentes, le couple (population proies,population prédateur) au cours du temps).

On a donc, en l'absence d'un prédateur extérieur, un système stable. Si maintenant apparait un prédateur extérieur sur les deux espèces, le modèle devient : $$\left\{ \begin{align*} N'(t)&=aN(t)-bN(t)P(t)-kN(t)\\ P'(t)&=cN(t)P(t)-dP(t)-kP(t). \end{align*}\right.$$ On prouve alors que, au cours d'une période, le nombre moyen de proies augmente, quand le nombre moyen de prédateurs diminue.