Loi de Pascal
On dit qu'une variable aléatoire $X$ suit la loi de Pascal de paramètres $r\geq 1$ et $p\in ]0,1[,$ ce que l'on note $X\hookrightarrow \mathcal P(r,p),$ si :
- $X(\Omega)=\{r,r+1,\dots\}.$
- Pour tout $k\geq r$, $P(X=k)=\binom{k-1}{r-1}p^r(1-p)^{k-r}.$
$X$ admet alors une espérance et une variance données par $$E(X)=\frac rp\textrm{ et }V(X)=\frac{r(1-p)}{p^2}.$$
Exemple : Temps d'attente du $r$-ème succès.
On lance une pièce de monnaie (truquée) dont la probabilité d'obtenir pile est $p.$ On note $X$ le nombre de lancers nécessaires pour obtenir le $r$-ème pile. Alors $X$ suit une loi de Pascal de paramètres $r$ et $p.$
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