Loi de Kolmogorov-Smirnov

On dit qu'une variable aléatoire $X$ suit la loi de Kolmogorov-Smirnov si sa fonction de répartition vaut : $$F(x)=\left\{ \begin{array}{ll} 0&\textrm{si }x\leq 0\\ \displaystyle 1-2\sum_{k=1}^{+\infty}(-1)^k \exp(-2k^2x^2)&\textrm{sinon.} \end{array} \right.$$ $X$ admet alors une espérance et une variance qui valent approximativement : $$E(X)\simeq 0,\!8687\textrm{ et }V(X)=\simeq 0,\!0677.$$

Courbe représentative de la densité et de la fonction de répartition :

Signification : La loi de Kolmogorov-Smirnov intervient de façon naturelle dans le cas suivant : soit $X$ une variable aléatoire, et $X_1,\dots,X_n$ une série de $n$ observations indépendantes de $X.$ Soit $F$ la fonction de répartition théorique, et $F_n$ la fonction de répartition observée. On pose $$D_n=\sup\{|F_n(x)-F(x)|:\ x\in\mathbb R\}.$$ Alors la variable aléatoire $\sqrt n D_n$ converge en loi vers la loi de Kolmogorov-Smirnov. Il est remarquable que la loi limite ne dépende pas de la loi initiale de $X.$ C'est cette propriété qui fonde les tests de comparaison de distribution de Kolmogorov-Smirnov.