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Loi du demi-cercle

La loi du demi-cercle de paramètre $R>0$ est la loi de probabilité sur l'intervalle $[-R,R]$ dont le graphe de la densité de probabilité $f$ est le demi-cercle de rayon $R$ centré en $0$, convenablement renormalisé pour que $\int_{-R}^R f(x)dx=1$. La densité $f$ a donc pour expression $$f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \displaystyle \frac 2{\pi R^2}\sqrt{R^2-x^2}&\textrm{ si }x\in[-R,R]\\ 0&\textrm{ sinon.} \end{array}\right.$$ Une variable aléatoire $X$ suivant la loi du demi-cercle de paramètre $R$ admet des moments de tout ordre. En particulier, pour les entiers pairs, on a $$E(X^{2n})=\left(\frac R2\right)^{2n}C_n$$ où $C_n$ est le n-ième nombre de Catalan.

La loi du demi-cercle intervient naturellement en physique des particules. En effet, en essayant d'expliquer la répartition des niveaux d’énergie des noyaux des atomes lourds, le physicien Eugène Wigner a été amené, dans les années 1950, à étudier le spectre de matrices symétriques réelles aléatoires de grande taille. Il a constaté que, si on considère une telle matrice de taille $n$, les valeurs propres de cette matrice renormalisée par $1/\sqrt n$ se répartissent suivant la loi du demi-cercle de paramètre 2. Précisément, on a l'énoncé suivant :

Théorème de Wigner Soit $(X_{i,j})_{1\leq i\leq j}$ une suite de variables aléatoires réelles indépendantes d'espérance nulle et de variance 1. Pour $i<j$, on note $X_{j,i}=X_{i,j}$ et on considère la matrice aléatoire $$W_n=\frac1{\sqrt n}\left( \begin{array}{ccc} X_{1,1}&\dots&X_{1,n}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ X_{n,1}&\dots&X_{n,n} \end{array}\right).$$ Notons $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ ses valeurs propres, rangées par ordre croissant. On fait les hypothèses supplémentaires suivantes :
  • les variables aléatoires $(X_{i,j})_{1\leq i<j}$ ont même loi
  • les variables aléatoires $(X_{i,i})_{i\geq 1}$ ont même loi
  • Pour tout entier $k\geq 1$, $E(|X_{1,1}|^k)<+\infty$ et $E(|X_{1,2}|^k)<+\infty$.
Alors, presque sûrement, pour tout fonction continue et bornée $f:\mathbb R\to\mathbb R$, $$\frac 1n\sum_{i=1}^n f(\lambda_i)\to \frac{1}{2\pi}\int_{-2}^2 f(x)\sqrt{4-x^2}dx.$$

Autrement dit, presque sûrement, la mesure spectrale empirique $\mu_n=\frac 1n\sum_{i=1}^n \delta_{\lambda_i}$ converge faiblement vers la loi du demi-cercle de paramètre $2$.

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